第一章 随机事件

确定性现象是指事前可以预知结果的，即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知它将来的 发展状态。

偶然性现象是指事前不能预知结果的，即在相同的条件下重复进行实验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的发展状态。

我们学习《概率论与数理统计》研究的是随机现象，虽然是随机现象，但经过前人的研究发现，随机中有偶然性也有必然性，是一门值得深入研究的学科。

1.1 基本概念

1.1.1 随机试验

​ 满足下列条件的试验称为随机试验。

​ （1）可以在相同的条件下重复地进行；

​ （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

​ （3）进行依次试验之前不能确定哪一个结果会出现；

1.1.2 样本空间

​ 我们研究随机现象的方法其实就是利用已知知道的规律来分析未知，既然随机试验的所有可能结果我们都能事先知道，那我们先把这些结果列出来。

​ （1）样本点：随机试验的每一个可能结果称为一个样本点；

​ （2）样本空间$\Omega$：所有样本点全体组成的集合称为样本空间；

1.1.3 随机事件

​ 随机现象往往是通过一个具体情况或具体事件出现的，比如"仍骰子扔出的点数是偶数"这个事件，相当于给扔出的点数又附加了一个条件，它的所有可能结果写成集合为{2,4,6},我们会发现这个集合是样本空间的一个子集。

​ （1）随机事件：样本空间$\Omega$的子集称为随机事件，通常用大写字母$A、B、C$等表示；

​ （2）基本事件：由单个样本点组成的单点集；

​ （3）事件发生：在每次实验中，当且仅当时间的结果集合中一个样本点出现时，称这一事件发生；

​ （4）必然事件：在每次试验中总是发生的，称为必然事件。记为$\Omega$。必然事件包含样本空间所有的样本点。

​ （5）不可能事件：在任意一次试验中都不会发生的事件称为不可能事件，记做$\emptyset$。它也是样本空间子集。

1.2 事件的关系及运算

1.2.1 事件的关系

1.2.2 事件运算的性质

tips：懒得码公式了，这里直接放上高数叔课件上的公式（长杠变短杠，开口换方向）

1.2.3 习题

1.3 事件的概率

1.3.1 频率

在大量重复试验下，随着试验次数的增加，一个事件A出现的频率总在一个固定的数值附近摆动，我们把这个"固定的数"称为事件A的概率。

1.3.2 概率的定义

1.3.3 概率的性质

（1）$P(\emptyset)=0,P(\Omega)=1$;

（2）有限可加性：设$A_1、A_2{\cdots}A_n$是两两互不相容的事件，则有$P(A_1{\bigcup}A_2{\bigcup}{\cdots}{\bigcup}A_n) = P(A_1)+P(A_2){\cdots}P(A_n)$;

（3）逆事件的概率：对于任意事件A，有$P({\vec{A}}=1-P(A))$;

（4）减法公式：设$A、B$是两个事件，$P(A-B) = P(A)-P(AB) = P(A{\vec{B}})$。特别的若$A{\subset}B,则有P(A){\leq}P(B),且P(B-A)=P(B)-P(A)$;

（5）加法公式：对于任意两个随机事件A、B有： $P(A{\bigcup}B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

注：$P(A{\bigcup}B{\bigcup}C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

1.3.4 习题

1.4 古典概型

1.4.1 古典概型定义

定义：一个试验的样本点有限，并且每个样本点出现的可能性都相等，那这个试验就是古典概型（等可能概型），比如掷骰子，每个点数出现的可能性都是$\frac{1}{6}$。

1.4.2 计算方法

（2）计算方法：$P(A)=\frac{A中基本的事件数}{基本事件总数n}$；比如A=掷骰子扔出奇数，则$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

1.4.3 习题

1.5 几何概型

1.5.1 几何概型的定义

定义：如果试验$E$是从某一线段（或平面、空间中有界区域）$Ω$上取一点，并且所取的点位于$Ω$中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（子区域）内的可能性相同，则所取得点位与$Ω$中的任意子区间（或子区域）$A$内这一事件(仍记作$A$)的概率为：$P(A) = \frac{A的长度(面积、体积)}{Ω的长度(或面积、体积)}$，与古典概型不同的是，几何概型的样本点无穷多

1.5.2 习题

1.5.3 蒲丰投针问题

1.6 条件概率

1.6.1 条件概率的定义

定义：条件概率$P(B|A)$表示已知事件$A$发生的情况下事件$B$发生的概率：$P(B|A) = \frac {P(AB)}{P(A)},(P(A)>0)$，和$P(AB)$不同点在于两中概率的样本空间不同，前者是$A$后者是$Ω$。

1.6.2 条件概率的性质

① $0{\leq}P(B|A){\leq}1$

② $P(Ω|A)=1$

③ $P(A^`|B) = 1 - P(A|B)$

④ $P(A+B|C) = P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)$

1.6.3 乘法公式

若$P(A)>0,P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$,则$P(AB) = P(B|A)P(A)$

1.6.4 习题

1.7 全概率公式和贝叶斯公式

1.7.1 全概率公式

1.7.2 贝叶斯公式

1.7.3 习题

1.8 事件的独立性

1.8.1 定义

事件不在同一个样本空间中，那么事件就是相互独立的，毫不影响。$P(B|A) = P(B) $在A发生的条件下B发生的概率，仍为B单独发生的概率。根据乘法公式我们可以得到$P(AB) = P(A)*P(B|A) = P(A)P(B)$，这就是判断事件独立性的充要条件。

1.8.2 独立性的性质

1.8.3 习题

1.9 第一章习题

第二章 随机变量

2.1 随机变量的定义

定义：随机变量$X$是定义在随机试验样本空间$S={e}$上的单实值函数，记为$X = X(e)$。

2.3 随机变量

随机变量需要注意以下问题

1. 随机变量$X=X(e)$是一个单实值函数，也就是随机试验的每个结果在实数轴上只有一个值与之对应，当然，不同元素对应的实值可能是一样的，比如年龄问题，很多人都对应60这个年龄。
2. $X(e)$体现的是对随机事件的描述。
3. $X(e)$的各个取值都有一定的概率。
4. 试验之前可知$X(e)$的取值范围，但是无法预知取到何值。

2.4 离散型随机变量

2.4.1 定义

离散型随机变量是指随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限个（可列无穷多可以理解为有规律的离散实值，可以知道下一个取值，与自然数一一对应）。例如：加油站达到的车辆数，医院一天新生儿出生数。

2.4.2 分布律

设离散型随机变量$X$的所有取值为$X _ k,(k=1,2,3, \cdots)$，$X$取到各个可能值的概率$P(X = x_k) = P_k, (k=1,2,3, \cdots)$，称为随机变量$X$的概率分布，也叫分布律。

注：① $P _ k \geq 0, (k=1,2,3, \cdots)$

② 求和等于1（重要）

2.4.3 常见的离散型随机变量

1. 两点分布

随机试验的结果只有两个，随机变量$X$只有可能取值0和1，其分布律可以写成

比如抛硬币，产品是否合格，一个事件是否发生。

2. 二项分布

只有两个结果的随机试验称为伯努利试验，观察A发生或A不发生，将这种试验独立重复进行n次，称为n重伯努利试验。n重伯努利实验中A发生的次数也是一个随机变量。

假设单独一次试验A发生的概率为$P(0<p<1)$，而A不发生的概率为$q(q=1-p)$，则n次实验中A发生k次的概率为：$P(X=k)={k \choose n} p^k q^{n-k},(k=0,1,2, \cdots)$

我们把这个n重伯努利试验中A发生的次数这个随机试验X服从的分布称为二项分布记为$B(n,p)$。

3. 泊松分布

泊松分布适合于描述单位时间（空间）内随机事件发生的次数。如加油站一小时内到达的车辆数，一个医院一天内出生二点新生儿数量，受伤单位面积内细菌的分布数量等等。

泊松分布用$P(\lambda),Π(\lambda)$表示，其分布律：$P(X=k) = \frac{ {\lambda}^k e^{- \lambda } }{k!}, (k=0,1,2, \cdots)$这里$\lambda > 0$是一个常数，表示单位时间（空间）内随机事件发生的平均次数。$X~P(\lambda)$表示随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布。拉K艺负拉比上k阶乘

4. 泊松定理

设$\lambda > 0$是一个常数，$n$是任意正整数，设$np_n = \lambda$，则对任一固定的非负整数$k$，有$\lim_{n \rightarrow \infty} {k \choose n} p_n^k (1-p)^{n-k} = \frac{ {\lambda}^k e^{- \lambda } }{k!}$。

这个定理告诉我们：如果随机变量$X~B(n, p)$，当n很大，p很小时，X近似服从参数$\lambda = np$的泊松分布，即

2.5 随机变量的分布函数

2.5.1 定义

设$X$是随机变量，x是任意实数，则函数$F(x)=P(X \leq x), -\infty < x < +\infty$称为$X$的分布函数。分布函数表示将随机变量$X$取值中小于等于$x$的所有取值对应的概率相加。(主要是概率相加)（注意区分分布函数F(x)和概率P(X)）

$F(3.5) = P(X \leq 3.5) = P(X=1) + P(X = 2) + p(x = 3) = 0.6$。

2.5.2 性质

1. $F(x)$是一个不减函数
2. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
3. $0 \leq F(x) \leq 1, F(-\infty)=0, F(+\infty) = 1$
4. $f(x)$右连续

2.5.3 习题

2.6 一维连续型随机变量

2.6.1 定义

定义：如果对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使对任意实数$x$有$F(x) = \int _ {-\infty}^{x} {f(t)}{\rm d}t$。则称$X$为连续型随机变量，$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度。

连续型：时间。例如：一辆车在8点到9点这一小时内任一时刻等可能到达

1. 问车在8点10分52秒达到的概率。（概率等于0，未必是不可能时间）

2. 问车在8点10分8点20分之间达到的概率。

2.6.2 性质

1. $f(x) \geq 0$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)}{\rm d}t$
3. $P(x_1 < X < x_2) = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} {f(x)}{\rm d}x$
4. $P(x_1 \leq x \leq x_2) = P(x_1 \leq x < x_2) = P(x_1 < x \leq x_2) = P(x_1<x<x_2)$
5. 若$f(x)$在点x处连续，则有$F^{\prime} (x) = f(x)$

2.6.3 概率密度函数

使用概率密度函数描述随机变量发生的概率大小，借用物理的思想。虽然连续型随机变量的单点概率为零，但我们可以通过概率密度函数求出连续区间的概率。

2.6.4 分布函数

2.6.5 习题

2.7 常见的连续型随机变量

2.7.1 均匀分布

2.7.2 指数分布

这里的$\lambda$和泊松分布中的$\lambda$一样。泊松分布中$\lambda$描述医院一天内平均出生新生儿的数量，指数分布中$\frac {1}{\lambda}$描述两个新生儿出生的时间间隔。

指数分布的无记忆性对于任意的$s,t >0$，有$P(X>s+t|X>s) = P(X>t)$。一个元件的寿命服从指数分布，那么它已经工作了$s$小时，还能继续工作$t$小时的概率，就等于从最开始这个元件能工作$t$小时的概率。只看时间间隔，不看起始时间。

2.7.3 正态分布

正态分布，也叫常态分布、高斯分布$(\mu -\sigma)$和$(\mu +\sigma)$是正态分布曲线的两个拐点。

注：① 关于$x = \mu$对称；②当$x=\mu$时取得最大值；③当$x<\mu$时单调增加，当$x>\mu$时单调减小；④$x$轴是正态分布的渐近线。

2.7.3.1 标准正态分布

若$X~N(0,1)$,，则称服从标准正态分布，有概率密度

注：①关于$x=0$对称，$f(-x)=f(x)，偶函数$。

② （重要）分布函数$\phi (-x) = 1- \phi(x)$。

第三个性质很重要，将非标准的正态分布转化为标准正态分布。

标准正态分布的函数值可以查表查出来。

2.7.3.2 习题

2.8 随机变量函数的分布

2.8.1 离散型随机变量函数的分布

2.8.2 连续型随机变量函数的分布