一、朴素贝叶斯方法介绍

朴素贝叶斯方法是一种基于概率的分类方法。其基本思想是：对于一个以若干特征表示的待分类样本，依次计算样本属于每个类别的概率，其中所属概率最大的类别作为分类结果输出。

二、贝叶斯方法

2.1 符号约定

贝叶斯方法确定类别即求满足$max[P(y_{i}|x)]$的$y_i$的取值，但是直接计算难度很大，所以引入贝叶斯公式计算该概率：

$P(y_{i}|x)=\frac{P(x|y_i)P(y_i)}{P(x)}$

因为$x$的特征已经给定，所以$P(x)$是给定的固定值，那么求$P(y_{i}|x)$最大与$P(x|y_i)P(y_i)$最大等价。又因为$P(x|y_i)P(y_i)=P(x,y_i)$，即给定$x$和$y_i$求联合概率的大小，这在思维上是成立的，联合概率越大关联性越强，即判断出$x$与某一个$y_i$相匹配。

$P(y_i)$是先验概率，这是在给定训练样本下计算得到的。$P(x|y_i)$的概率计算较为麻烦，因为每一类特征有很多取值，这样我们就面临组合爆炸问题。例如：$x=(青年，中发，平底，花色)$，虽然$x$给定，但该特征组合的概率在众多组合之中计算得到是很麻烦的，所以该概率基本不可能获得。

2.2 独立性假设

由前面得知的$P(x|y_i)$基本不可能得到，因此为了解决该问题，我们引入独立性假设。

假设各个特征是独立的，但实际上各特征之间很难做到特征独立：

$P(x|y_i)=P((x_1,x_2,...,x_N)|y_i)=\prod_{j=1}^{N}{P(x_j|y_i)}$

这样就变为在$y_i$情况下每个特征取值概率的累乘，这样就不存在组合，不存在组合爆炸问题，从而简化了问题。

$P(a_{kj}|y_i)=\frac{类别y_i的样本中特征A_k值为a_{kj}的样本数}{标记为类别y_i的样本数}$

三、朴素贝叶斯方法

引入独立性假设后的贝叶斯方法称作朴素贝叶斯方法：

$P(x|y_i)=\prod_{j=1}^{N}{P(x_j|y_i)·P(y_i)}$

这消除了特征取值的组合爆炸问题。

3.1 平滑

在实际问题中，因样本不足可能存在概率为零的问题，这样累乘结果为零，朴素贝叶斯方法再利用概率不能进行比较，因此平滑。

平滑的办法有很多种，这里教授介绍的是拉普拉斯平滑：

• 假设每一种情况都至少出现一次,相当于样本数量增加了$S_k$个

$P(a_{kj}|y_i)=\frac{类别y_i的样本中特征A_k值为a_{kj}的样本数+1}{标记为类别y_i的样本数+特征A_k的可能取值数S_k}$

$P(y_i)=\frac{属于类别y_i的样本数+1}{总样本数+类别数K}$

其中$S_k$表示特征$A_k$的肯能取值，例如：年龄$A_k$的$S_k$为3，即：青年，中年，老年。$K$表示类别数，例如：$K=2$，即：男性，女性。

3.2 对数形式

因为实际问题中样本特征取值极其多，因此朴素贝叶斯方法中的累乘常取对数变为累加，这样避免了累乘情况下概率极其小的情况，方便比较运算。