z 变换及离散时间 LTI 系统的 z域分析-MATLAB学习

一、有理函数z变换的部分分式展开
如果信号的z域表示式$X(z)$是有理函数,设$X(z)$的有理分式表示为:
MATLAB信号处理工具箱提供了一个对$X(z)$进行部分分式展开的函数residuez
,其语句格式为:
其中,B,A分别表示$X(z)$的分子与分母多项式的系数向量;R为部分分式的系数向量;P为极点向量;K为多项式的系数。若$X(z)$为有理真分式,则K为零。下面的示例演示了如何使用MATLAB命令对函数$X(z)=\frac{18}{18+3z^{-1}-4z^{-2}-z^{-3}}$进行部分分式展开,并求出其z反变换:
1 | % 用MATLAB命令求X(z)的部分分式展开,并求其z反变换 |
其中$K$为空矩阵,说明$X(z)$为真分式,即没有多项式。$P_1=P_2$,表示系统有一个二重极点。所以,$X(z)$的部分分式展开式为:
二、系统函数的零极点分析
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的 z 变换与激励的 z 变换之比,即 :
如果系统函数 H(z) 的有理函数表示式为:
那么,在MATLAB中系统函数的零极点就可以通过函数roots
得到,也可以借助函数tf2zp
得到,tf2zp
的语句格式为:
其中,$B$与$A$分别表示函数$H(z)$的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将$H(z)$的有理分式表示式转换为零极点增益形式,即:
下面的示例演示了如何使用MATLAB命令求系统函数$H(z)=\frac{z+0.32}{z^2+z+0.16}$的零极点:
1 | % 使用tf2zp函数求解系统函数的零极点 |
因此,零点为$z=0.32$,极点为$p_1=0.8$,$p_2=0.2$。
若要获得系统函数$H(z)$的零极点分布图,可直接应用zplane
函数,其语法格式为:
其中,B与A分别表示$H(z)$的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位元、零点与极点。下面的示例演示了如何使用zplane
函数求解系统函数$H(z)=\frac{z^{2}-0.36}{z^{2}-1.52z+0.68}$的零极点并画出零极点分布图:
1 | % 求解零极点以及画出零极点分布图 |
可见,该因果系统的零极点全部在单位元内,过系统是稳定的。
三、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
与拉氏变换在连续系统中的作用类似,在离散系统中,z变换建立了时域函数与z域函数之间的对应关系。因此,z变换的函数从形式可以反映$h(n)$的部分内在性质。我们仍旧通过讨论$H(z)$的一阶极点情况,来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。下面的示例演示了如何使用MATLAB画出以下系统函数的零极点分布图,以及对应的时域单位取样响应$h(n)$的波形,并分析系统函数的极点对时域波形的影响:
1 | % 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系 |
由上图可知,当极点位于单位院内时,$h(n)$为衰减序列;当极点位于单位圆上时,$h(n)$为等幅序列;当极点位于单位圆外时,$h(n)$为增幅序列。若$h(n)$有一阶实数极点,则$h(n)$为指数序列;若$h(n)$有一阶共轭极点,则$h(n)$为指数震荡序列;若$h(n)$的极点位于虚轴左边,则$h(n)$序列按一正一负的规律交替变化。
四、离散时间LTI系统的频率特效分析
对于因果稳定系统的离散时间系统,如果激励序列为正弦序列$x(n)=Asin(nw)u(n)$,则系统的稳态响应为$y_{ss}(n)=A|H(e^{jw})|sin[nw+\varphi(w)]u(n)$。其中,$H(e^{jw})$通常是复数。离散时间系统的频率响应定义为:
其中,$|H(e^{jw})|$常被称为离散时间系统的幅频特性;$\varphi(w)$被称为离散时间系统的相频特性;$H(e^{jw})$是以$w_s$为周期的周期函数。因此,只要分析$H(e^jw)$在$|w|<\pi$范围内的情况,便可分析出系统的整个频率特性。
MATLAB提供了求离散时间系统频率响应特性的函数freqz
,调用freqz
的格式主要有两种。一种形式为:
其中,施工中····