一、有理函数z变换的部分分式展开

如果信号的z域表示式 $X(z)$ 是有理函数，设 $X(z)$ 的有理分式表示为：

X(z)=\frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+{\cdots}+b_{m}z^{-m}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+{\cdots}+a_{n}z^{-n}}

MATLAB信号处理工具箱提供了一个对 $X(z)$ 进行部分分式展开的函数residuez，其语句格式为：

[R,P,K]=residuez(B,A)

其中，B，A分别表示 $X(z)$ 的分子与分母多项式的系数向量；R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若 $X(z)$ 为有理真分式，则K为零。下面的示例演示了如何使用MATLAB命令对函数 $X(z)=\frac{18}{18+3z^{-1}-4z^{-2}-z^{-3}}$ 进行部分分式展开，并求出其z反变换：

% 用MATLAB命令求X(z)的部分分式展开，并求其z反变换

B = [18];
A = [18 3 -4 -1];

[R, P, K] = residue(B, A);
R
P
K

# 结果
R =

    1.4400
   -1.4400
   -1.2000


P =

    0.5000
   -0.3333
   -0.3333


K =

     []

其中 $K$ 为空矩阵，说明 $X(z)$ 为真分式，即没有多项式。 $P_1=P_2$ ，表示系统有一个二重极点。所以， $X(z)$ 的部分分式展开式为：

X(z)=\frac{1.44}{1-0.5z^{-1}} + \frac{-1.44}{1+0.3333z^{-1}}+\frac{-1.2}{(1+0.3333z^{-1})^2}

二、系统函数的零极点分析

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的 z 变换与激励的 z 变换之比，即：

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}

如果系统函数 H(z) 的有理函数表示式为：

H(z)=\frac{b_{1}z^{m}+b_{2}z^{m-1}+{\cdots}+b_{m}z+b_{m+1}}{a_{1}z^{n}+a_{2}z^{n-1}+{\cdots}+a_{n}z+a_{n+1}}

那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可以通过函数roots得到，也可以借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：

[Z, P, K] = tf2zp(B,A)

其中， $B$ 与 $A$ 分别表示函数 $H(z)$ 的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将 $H(z)$ 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：

H(z) = k\frac{(z-z_{1})(z-z_{2}){\cdots}(z-z_{m})}{(z-p_{1})(z-p_{2}){\cdots}(z-p_{m})}

下面的示例演示了如何使用MATLAB命令求系统函数 $H(z)=\frac{z+0.32}{z^2+z+0.16}$ 的零极点：

% 使用tf2zp函数求解系统函数的零极点

B = [1 0.32];
A = [1 1 0.16];

[R, P, K] = tf2zp(B, A)

# 结果
R =

   -0.3200


P =

   -0.8000
   -0.2000


K =

     1

因此，零点为 $z=0.32$ ，极点为 $p_1=0.8$ ， $p_2=0.2$ 。

若要获得系统函数 $H(z)$ 的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语法格式为：

zplane(B,A)

其中，B与A分别表示 $H(z)$ 的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位元、零点与极点。下面的示例演示了如何使用zplane函数求解系统函数 $H(z)=\frac{z^{2}-0.36}{z^{2}-1.52z+0.68}$ 的零极点并画出零极点分布图：

% 求解零极点以及画出零极点分布图

B = [1 0 -0.36];
A = [1 -1.52 0.68];
[R, P, K] = tf2zp(B, A)
zplane(B,A);

# 结果
R =

    0.6000
   -0.6000


P =

   0.7600 + 0.3200i
   0.7600 - 0.3200i


K =

     1

可见，该因果系统的零极点全部在单位元内，过系统是稳定的。

三、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数与z域函数之间的对应关系。因此，z变换的函数从形式可以反映 $h(n)$ 的部分内在性质。我们仍旧通过讨论 $H(z)$ 的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。下面的示例演示了如何使用MATLAB画出以下系统函数的零极点分布图，以及对应的时域单位取样响应 $h(n)$ 的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响：

% 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

B1 = [1,0];
A1 = [1 -0.8];
subplot(7,2,1);
zplane(B1, A1);
title("极点在单位元内的正实数");
subplot(7,2,2);
impz(B1, A1, 30);
grid on;

B2 = [1,0];
A2 = [1 0.8];
subplot(7,2,3);
zplane(B2, A2);
title("极点在单位元内的负实数");
subplot(7,2,4);
impz(B2, A2, 30);
grid on;


B3 = [1,0];
A3 = [1 -1.2 0.72];
subplot(7,2,5);
zplane(B3, A3);
title("极点在单位元内的共轭复数");
subplot(7,2,6);
impz(B3, A3, 30);
grid on;


B4 = [1,0];
A4 = [1 -1];
subplot(7,2,7);
zplane(B4, A4);
title("极点在单位元上的实数1");
subplot(7,2,8);
impz(B4, A4, 30);
grid on;


B5 = [1,0];
A5 = [1 -1.6 1];
subplot(7,2,9);
zplane(B5, A5);
title("极点在单位圆上的共轭复数");
subplot(7,2,10);
impz(B5, A5, 30);
grid on;


B6 = [1,0];
A6 = [1 -1.2];
subplot(7,2,11);
zplane(B6, A6);
title("极点在单位圆外的正实数");
subplot(7,2,12);
impz(B6, A6, 30);
grid on;


B7 = [1,0];
A7 = [1 -2 1.36];
subplot(7,2,13);
zplane(B7, A7);
title("极点在单位元外为的共轭复数");
subplot(7,2,14);
impz(B7, A7, 30);
grid on;

由上图可知，当极点位于单位院内时， $h(n)$ 为衰减序列；当极点位于单位圆上时， $h(n)$ 为等幅序列；当极点位于单位圆外时， $h(n)$ 为增幅序列。若 $h(n)$ 有一阶实数极点，则 $h(n)$ 为指数序列；若 $h(n)$ 有一阶共轭极点，则 $h(n)$ 为指数震荡序列；若 $h(n)$ 的极点位于虚轴左边，则 $h(n)$ 序列按一正一负的规律交替变化。