熟话说要站在巨人的肩膀上看世界,该篇建立的数学物理方程的定解问题是张同学提出的,感谢大佬的付出
好,总算把常识部分都给借鉴完了,困了,晚安( ̄o ̄) . z Z
一、任务要求
- 设计合理,结论正确
- 内容规范,过程清晰
- 格式规范
(⊙﹏⊙),等我查一下这个任务要求再补写这一部分!!!
二、设计原理
2.1 定解问题的提出
小提琴弦线设计分析问题可以转化为实际数理问题,即典型弦振动问题。由于主要研究小提琴弦线的E弦,因此问题可以描述为:一根分布均匀柔软的弦弦,两端分别在x=0以及x=L处固定,设初始时刻弦的形状为一抛物线,抛物线的顶点为(L/2,h),讨论其弦振动的具体问题。<注:初值设定方式不收限制,但是不能全为零,否则无运动,在此以此初值是便于进一步的公式推导,L为弦长>
因此我们可得出定解问题如下:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∂t2∂2u=a2∂x2∂2uu∣x=0=0,u∣x=L=0u∣t=0=L24h(L−x)x,∂t∂u∣t=0=00<x<L,t>0t>00≤x≤L
2.2 求解定解问题
利用分离变量法对两端固定的一维弦振动问题进行求解。
定解问题:⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∂t2∂2u=a2∂x2∂2uu∣x=0=0,u∣x=L=0u∣t=0=L24h(L−x)x,∂t∂u∣t=0=00<x<L,t>0t>00≤x≤L
基于两端固定长弦振动问题的结论:u(x,t)=∑n=1∞(Cncos(Lnπat)+Dnsin(Lnπat))sin(Lnπx),n=1,2,3,⋯。
由正弦级数的正交性有:Cn=L2∫0LL24h(L−x)xsin(Lnπx)dx,Dn=nπa2∫0L0dx=0。
Cn=L2∫0LL4h(L−x)xsin(Lnπx)dx=L38h∫0L(L−x)xsin(Lnπx)dx
使用表格法求解该积分
求导 |
Lx−x2 |
L−2x |
−2 |
0 |
积分 |
sin(Lnπx) |
−nπLcos(Lnπx) |
−(nπL)2sin(Lnπx) |
(nπL)3cos(Lnπx) |
Cn=L38h{−(Lx−x2)nπLcos(Lnπx)+(L−2x)[n2π2L2sin(Lnπx)]−2n3π3L3cos(Lnπx)}∣0L=L38h[0+0−2n3π3L3cos(nπ)−(0+0−2n3π3L3)]
综上所述:Cn=n3π316h[1−(−1)n],n=0,1,2,3,⋯,Dn=0
至此,定解问题的求解完毕,得出了弦振动的函数表达式:u(x,t)=π332h∑n=1∞(2n+1)31cos(L(2n+1)πat)sin(L(2n+1)πx),n=0,1,2,3,⋯
定解问题手推答案过程
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
| L = 0.68; h = 0.6; v = 380; t_max = 0.025; dx = 0.001; dt = dx/v;
x = 0:dx:L; n_points = length(x);
u = zeros(1, n_points); for i = 1:n_points if x(i) <= L/2 u(i) = h*(x(i)/((L/2))^2)*(L-x(i)); end end
u(1) = 0; u(end) = 0;
u_new = u; u_old = u; for time_step = 1:t_max/dt for i = 2:n_points-1 u_new(i) = 2*(1-((v*dt)/dx)^2)*u_old(i) ... - u_new(i) + ((v*dt)/dx)^2*(u_old(i+1) ... + u_old(i-1)); end u_old = u; u = u_new; end
plot(x,u); xlabel('x (m)'); ylabel('u (m)'); title('Small Vibrations of E String of Violin');
|
2.3 琴弦发音原理推导
经过多个文献的学习得出,小提琴声音是通过把琴弦的振动经过琴码传递到共鸣体,使得共鸣腔体产生共振,带动箱内外空气振动而产生的,而弦的振动则来源于琴弓与琴弦的相互作用。小提琴发声产生的振动大致分为弦的振动、琴码的振动和共鸣箱的振动三种,在此我们仅研究琴弦的振动,正是因此我们所仿真出来的发音效果会带来一定的偏差。琴弦振动分为横振动、纵振动、扭转振动和倍频振动,根据课题要求与实际运算难度,在此我们只研究横振动。
横振动,将弦挑离其平衡位置再放掉,弦就开始做一个扁纱锭型的振动,它的振幅限制在两条明确的曲线之内。弦的横振动频率,可以用泰勒公式来表达f=2L1ρF,其中ρF=0,式中f为弦的振动频率,ρ、F、L依次为弦的线密度、拉力和长度。且看出横向振动频率与弦长成反比,与张力的平方根成正比,与弦线的密度的平方根成反比。通俗的来讲,拉弦或拨弦可发出声音。琴身内部的空气藉此产生振动而发声,称为共鸣。四条琴弦自小提琴的底部延伸,跨过琴马,至指板尾端以弦轸固定。调音方法是扭动弦轸以调整琴弦的松紧。琴音的高低决定于琴弦的大小、粗细及张力。愈短、愈细、愈紧的琴弦,所产生的音愈高。
2.4 相关参数的确定
有效琴弦长度L:《小提琴制作艺术》【英】克里斯.约翰逊,罗伊.考特诺尔著一书中讲到安装琴颈时琴颈站位与琴身站位比例为2比3,即F孔两个小缺口下口325毫米处。在此我们定弦长L=325mm=0.325m<注:此处我们选用的是4/4M尺寸的小提琴,即成人常用小提琴>
琴弦拉力F:由下表可得H311型号E-Mi弦拉力为18.6磅。
型号 |
|
1/16M |
1/8M |
1/4M |
1/2M |
3/4M |
4/4L |
4/4M |
4/4H |
有效弦长 |
毫米 |
216 |
241 |
265 |
290 |
310 |
328 |
328 |
328 |
|
英寸 |
8 1/2 |
9 1/2 |
10 1/2 |
11 1/2 |
12 1/4 |
13 |
13 |
13 |
H311 |
E-Mi钢弦 |
10.4 |
13 |
13.3 |
16 |
16.5 |
16.8 |
18.6 |
20.4 |
H311W |
E-Mi钢弦缠铝 |
|
|
|
|
|
16.3 |
18.1 |
19.9 |
H313 |
A-La多股钢弦缠铝 |
8 |
9.3 |
10.2 |
11.4 |
12.2 |
11.7 |
12.7 |
13.6 |
H312T |
A-La多股钢弦缠钛 |
|
|
|
|
|
|
12.2 |
13.5 |
H313 |
D-Re多股钢弦缠钛 |
7.5 |
8.3 |
9.7 |
10.3 |
11.3 |
9.2 |
11.5 |
12.2 |
H314 |
G-Sol 多股钢弦缠钨银 |
|
|
|
|
|
9.2 |
10.2 |
11.4 |
H314分数琴 |
G-Sol 多股钢弦缠钨镍 |
7 |
7.8 |
8.9 |
10 |
10.3 |
|
|
|
H315 |
G-Do 多股钢弦缠钨银 |
|
|
|
|
|
|
11.1 |
12.4 |
因此H311型号E-Mi弦拉力为18.6磅=8.436kg=82.6728N。
琴弦线密度:已知E-Mi钢弦的密度为7.8g/cm3=7800kg/m3,E弦直径为0.276mm则半径为0.138mm=0.000138m,由公式线密度=密度x琴弦的横截面积得,E弦的线密度是4.67×10−4kg/m
至此,我们得到参数:L=0.325m,F=82.6728N,ρ线=4.67×10−4kg/m
2.5 小提琴E弦的空弦频谱的音频
要输出小提请E弦的空弦频谱的音频,需要进行一下步骤:
- 定义时间和时间步长,以便生成频谱
- 生成空白的频谱数据矩阵,大小为采样率乘以时长
- 生成E弦的频谱数据,将其添加到音频数据矩阵中
- 可以使用
soundsc()
函数将频谱数据播放,并将其保存为wav
文件
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
| clc;clear;
Fs = 44100; time = 2;
audio = zeros(round(Fs * time), 1);
fE = 659.2551; t = linspace(0, time, round(time * Fs)); signal = sin(2 * pi * fE * t); signal = awgn(signal, 10, 'measured'); signal = reverberator(signal, Fs, 'Time', 0.5, 'WetDryMix', 0.4); audio(:,1) = signal;
soundsc(audio ,Fs); audiowrite('violin_E4_open_string_spectrum.wav',audio,Fs);
|
下面讨论时间步长的选取依据
2.6 时间步长的选取依据
我们要讨论时间步长的选取依据,主要是通过观察瀑布图查看频谱随时间的变化情况,以此确定时间步长。通常我们用以下步骤分析时间步长的选取依据。
-
根据采样率和E弦空弦音频的频率分布确定一个初始时间步长。
-
计算出音频信号的频谱,并将频谱转换为dB
(分贝)单位。
-
绘制出频谱随时间的变化曲线(即瀑布图),其中时间步长为横轴,频率为纵轴。颜色表示该时间步长下该信号频率的强度。
-
通过观察频谱随时间的变化曲线,根据曲线的变化趋势和频率分布,逐步调整时间步长。重复步骤二和步骤三,直到确定一个好的时间步长。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
| clc;clear;
[x, fs] = audioread('E4空弦音频.wav'); fprintf('%d', fs);
time_step = 0.01; while(time_step <= 0.1) step = round(time_step * fs); [S, f, t] = spectrogram(x, hann(step), floor(step/2), step, fs); S_dB = 20*log10(abs(S)); waterfall(t, f, S_dB); view(0, 90); xlim([t(1) t(end)]); ylim([0 max(f)]); xlabel('Time (seconds)'); ylabel('Frequency (Hz)'); zlabel('Magnitude (dB)'); pause(0.1); time_step = time_step + 0.005; end
|


以上,我们在观察时发现极难选取正确的时间步长。但是合适的步长应该满足采样率要求,即时间步长不应该过大也不应该过大或过小,否则会因为过采样或欠采样导致频谱信息失真(上述的代码输出很明显过采样了,都挤在了一起)。
- 根据
奈奎斯特采样定理
,步长应该小于信号最高频率的2倍的倒数,即dt<2fc1。那么在小提琴的情况下,最高频率约为1318Hz。因此可选取步长为dt=2659.2551138hz1=0.0007584317秒 。
- 时间步长应该满足分析需求,即时间步长应该足够小,使频谱图显示出所需的详细信息。
综上所述,选取步长为0.0007584317是相对合适的选择。
下面使用Matlab模拟奈奎斯特定理,对2.6节的输出音频进行分析:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
| clc; clear;
[x, fs] = audioread('E4空弦音频.wav');
T = length(x)/fs; t = linspace(0, T, length(x));
X = fft(x);
f = linspace(0, fs/2, length(x)/2+1); [~, idx] = max(X(1:length(f))); fmax = f(idx);
fs_min = 2*fmax;
N = fs*T+1;
k = ceil(fs/fs_min);
t_new = t(1:k:end);
x_new = interp1(t, x, t_new, 'spline');
X_new = fft(x_new);
f_new = linspace(0, fs/k/2, length(x_new)/2+1); plot(f_new, abs(X_new(1:length(f_new))));
disp(['时间步长为:', num2str(k/fs), '秒']);
|

可以看到这和理论值相差不多,还不错。
2.7 讨论弦拉力影响琴弦的音频频谱
在基于约束边界讨论弦拉力是如何影响琴弦的音频频谱时,我们可以将该问题拆解成两个基本问题:
- 讨论约束边界对小提琴弦拉力的影响。
- 讨论弦拉力是如何影响琴弦的音频频谱的。
琴弦的弦拉力可以用如下公式计算:F=(π∗d2∗T)/4L。其中,F表示琴弦的弦拉力,d表示琴弦的直径,T表示琴弦的张力,L表示琴弦的长度。
根据胡克定律,琴弦的张力可以表示为:T=(π2kd2f2)/L2。其中,k表示琴弦材料的杨氏模量,f表示琴弦的基波频率。将T代入F的公式中,可以得到:F=(π3kd4f2)/4L3
然而,在实际情况下,约束边界会对琴弦的弦拉力大小产生影响。约束边界会限制琴弦的长度和振动形态,导致琴弦的弦拉力大小与未受约束时不同。考虑琴弦被放置在弦轴和尾块上时的约束边界情况。弦轴和尾块会对琴弦施加约束,导致琴弦的受力分布和振动形态发生变化,从而影响琴弦的弦拉力大小。根据受力平衡条件和振动方程,可以得到满足约束边界条件的琴弦弦拉力公式。然而,由于约束边界情况复杂,公式过于繁琐,难以进行简单推导。基于此,我们优先讨论弦拉力是如何影响琴弦的音频频谱的问题。
2.7.1 弦拉力影响琴弦的音频频谱
弦拉力会影响琴弦的音频频谱,主要表现为以下两方面:
- 频率变化:弦拉力越大,琴弦的自然频率就越高,产生的音频频率也就越高。这意味着琴弦音高会变高。相反,如果弦拉力减小,音高就会变低。
- 谐波加强:弦拉力对琴弦不同振动模式的谐波产生不同的影响。当弦拉力增加时,高阶谐波会加强,低阶谐波会减弱。这意味着琴弦的音质会更加明亮,富有谐波特性。相反,如果弦拉力减小,低阶谐波会加强,高阶谐波会减弱,产生的音质将更加柔和。
下面使用Matlab进行仿真
- 数值模拟准备
首先,我们需要对问题进行数值模拟。我们可以使用波动方程来模拟小提琴弦的振动。具体来说,我们可以根据以下波动方程来模拟弦的振动:∂t2∂2u=c2∂x2∂2u其中,u(x,t)是弦在位置x和时刻t的位移,c是波速。为了简化问题,我们假设弦密度为ρ,横截面积为A,则波速为c=T/ρA,其中T为弦张力。根据小提琴的实际参数,根据第2.2节相关参数的确定,我们假设小提琴e弦的密度为4.67×10−4 g/cm,直径约为0.276 mm,故横截面积为A=π(0.276/2)2=0.0491 mm2,L=0.325m。在实验中,我们可以尝试不同的弦拉力T,以研究不同弦拉力下的音频频谱变化。
为了进行数值模拟,我们需要对弦进行离散化。我们可以将弦的长度L等分为N段,每段长度为h=L/N。我们将弦在每个节点上的位移ui=u(xi,t)表示为一个向量u=(u1,u2,⋯,uN)。类似地,我们将时间t离散化,时间步长为Δt,时间总长为T,则我们可以将弦在每个时间步长tn=nΔt的位移表示为一个矩阵U=(un)N×M,其中un表示弦在时间步长tn时各个节点的位移。我们可以使用有限差分法来求解弦的振动,具体来说,我们可以使用中心差分法来求解时间和空间上的导数:∂t2∂2u≈(Δt)2uin+1−2uin+uin−1,∂x2∂2u≈h2ui+1n−2uin+ui−1n
将上式代入波动方程中,得到:uin+1=2uin−uin−1+h2c2Δt2(ui+1n−2uin+ui−1n)其中,i=1,⋯,N,n=1,⋯,M,M=T/Δt。然后,我们可以根据弦的初始形状、两端的边界条件以及所选择的弦拉力来确定初始条件和边界条件。具体来说,我们可以假设弦的初始形状为一条抛物线,即:ui0=h−L24h(i−2L)2其中,i=1,⋯,N。我们可以将弦两端的边界条件设为固定边界条件,即:u1n=uNn=0。最后,我们可以根据所选择的弦拉力T计算波速c,从而求解出弦在不同时间步长的位移U。由于我们希望研究弦振动的频谱变化,因此我们需要对弦的位移进行傅里叶变换,以得到弦振动的频谱分布。具体来说,我们可以将弦的位移ui看作是一个复数ui=xi+jyi,其中xi表示实部,yi表示虚部。然后,我们可以对实部和虚部分别进行傅里叶变换,得到弦振动在频域中的频谱分布。最后,我们可以将频谱分布绘制成音频频谱图,以研究不同弦拉力下的音频频谱变化。
- MATLAB程序实现
以下为使用MATLAB实现上述数值模拟和分析的程序:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
| clc;clear;
Length = 0.325; heigh = 0.01; rho = 4.67e-4; Tensions = [10, 20, 30, 40, 50]; Nx = 100; Nt = 1000; Tmax = 0.01;
dx = Length / (Nx - 1); dt = Tmax / (Nt - 1);
x_space = linspace(0, Length, Nx); t_stride = linspace(0, Tmax, Nt);
figure;
for T = 1:length(Tensions) c = sqrt(Tensions(T) / rho); r = (c * dt / dx)^2; u = zeros(Nx, Nt); u(:, 1) = heigh * (1 - (4 * (x_space - Length/2).^2) / Length^2); u(:, 2) = u(:, 1); for n = 2:Nt-1 for i = 2:Nx-1 u(i, n+1) = 2 * (1 - r) * u(i, n) - u(i, n-1) + r * (u(i+1, n) + u(i-1, n)); end end U = abs(fft(u, [], 2)); freq = (0:size(U, 2)-1) * (1 / t_stride(end)); subplot(length(Tensions),1,T); plot(freq, U); xlim([0, 1000]); title(['Tension = ', num2str(Tensions(T)), ' N']); xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude'); end
|
得到不同拉力下小提琴e弦音频频谱的频谱图如下:

以上输出的频谱图,经分析得出如下结论:随着弦拉力的增加,频谱的高频部分变得更加明显,而低频部分则变得更加模糊。这是因为弦的振动模态随着拉力的变化而改变,导致不同频率的分量在频谱图中的贡献发生变化,且弦拉力越大,小提琴琴弦的音频频谱最高点呈向上增加的趋势,也就说明,弦拉力越大,琴弦的自然频率就越高,产生的音频频率也就越高。这意味着琴弦音高会变高。相反,如果弦拉力减小,音高就会变低。弦拉力对琴弦不同振动模式的谐波产生不同的影响。当弦拉力增加时,高阶谐波会加强,低阶谐波会减弱。这意味着琴弦的音质会更加明亮,富有谐波特性。相反,如果弦拉力减小,低阶谐波会加强,高阶谐波会减弱,产生的音质将更加柔和。
下面我们根据不同弦拉力生成相对应的小提琴e弦音频文件
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
| clc;clear;
Length = 0.325; heigh = 0.138; rho = 4.67e-4; Fs = 44100; duration = 2; n_modes = 10;
x_space = linspace(0, Length, 1000); B_matux = zeros(1, n_modes); for n = 1:n_modes B_matux(n) = 2/Length * trapz(x_space, heigh * (1 - 4 * x_space.^2 / Length^2) .* sin(n * pi * x_space / Length)); end
figure; T_values = linspace(50, 150,5); for i = 1:length(T_values) T = T_values(i); c = sqrt(T / rho); freqs = (1:n_modes) * c / (2 * Length); t = linspace(0, duration, Fs * duration); y = zeros(1, length(t)); for n = 1:n_modes y = y + B_matux(n) * sin(n * pi * t / Length) .* cos(2 * pi * freqs(n) * t); end subplot(1,5,i); Y = fft(y); f = linspace(0, Fs, length(Y)); plot(f(1:end/2), abs(Y(1:end/2))); xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Magnitude'); title(sprintf('E string spectrum at T = %.1f N', T)); audiowrite(sprintf('E_string_T_%.1fN.wav', T), y, Fs); end
|
以上生成音频文件,可以明显听出不同弦拉力下,音频的声音差异,具体表现为:弦拉力越大,琴弦的自然频率就越高,产生的音频频率也就越高,琴弦音高会变高。当弦拉力增加时,琴弦的音质会更加明亮,富有谐波特性。相反,如果弦拉力减小,低阶谐波会加强,高阶谐波会减弱,产生的音质将更加柔和。

2.7.2 约束边界对小提琴弦拉力的影响
以上我们讨论了弦拉力对小提琴音频频谱的影响,我们现在基于约束边界讨论边界条件对弦拉力的影响。
我们可以通过解弦的振动方程来分析不同约束边界对弦拉力的影响。弦的振动方程为:∂t2∂2u=v2∂x2∂2u,其中,u(x,t)表示弦的位移,v表示波速。
根据初值条件,我们可以得到弦的初始形状为:
u(x,0)={0h−L24h(x−2L)2x=0,L0<x<L
弦的两端分别在x=0和x=L处固定,因此我们可以得到边界条件为:u(0,t)=0, u(L,t)=0或者∂x∂u(0,t)=0, ∂x∂u(L,t)=0
根据边界条件,我们可以得到弦的特征方程为:sin(kL)=0,其中,k为波数,满足k=Lnπ,n为整数。
不同的约束边界对应了不同的特征方程,从而影响了弦的振动模式和拉力。下面我们分别分析不同约束边界对弦拉力的影响。
- 自由边界
自由边界表示弦两端不受限制,即边界条件为u(0,t)=u(L,t)=0。此时,特征方程为:sin(kL)=0,解得k=Lnπ,对应的振动模式为:un(x,t)=Ansin(Lnπx)cos(Lnπvt)
弦拉力可以表示为:T=μ∂x∂u(0,t)=μ∂x∂u(L,t),其中,μ为弦的线密度。根据弦的振动方程和振动模式,我们可以得到:Tn=nπ4μh
显然,自由边界下弦的拉力与振动模式的波数n成反比,即波数越大,拉力越小。这是因为在自由边界下,波的传播是任意方向的,不同波数的波可以互相干涉抵消。
- 固定边界
固定边界表示弦两端完全固定,即边界条件为u(0,t)=u(L,t)=0和∂x∂u(0,t)=∂x∂u(L,t)=0。此时,特征方程为:cos(kL)=0
解得k=2L(2n+1)π,对应的振动模式为:un(x,t)=Ansin(2L(2n+1)πx)cos(2L(2n+1)πvt),弦拉力可以表示为:T=μ∂x∂u(0,t)=μ∂x∂u(L,t)
根据弦的振动方程和振动模式,我们可以得到:Tn=L2μh
显然,固定边界下弦的拉力与振动模式的波数n无关,即所有波数的波都有相同的拉力。这是因为固定边界将弦的振动限制在某些特定的模式下,不同波数的波不能互相干涉抵消。
- 半自由边界
半自由边界表示弦的一端固定,另一端自由,即边界条件为u(0,t)=0和∂x∂u(L,t)=0。此时,特征方程为:tan(kL)=0
解得k=Lnπ,对应的振动模式为:un(x,t)=Ansin(Lnπx)cos(Lnπvt)
弦拉力可以表示为:T=μ∂x∂u(0,t)=μ∂x∂u(L,t)根据弦的振动方程和振动模式,我们可以得到:Tn={L2μhnπ4μhn 为奇数n 为偶数
显然,半自由边界下弦的拉力与振动模式的波数n的奇偶性有关。当n为偶数时,拉力与固定边界相同;当n为奇数时,拉力与自由边界相同。这是因为半自由边界将弦的振动限制在某些特定的模式下,但仍然允许不同波数的波在自由边界处干涉。当n为偶数时,干涉后的波是奇函数,不能在半自由边界处产生位移,从而弦的拉力与固定边界相同;当n为奇数时,干涉后的波是偶函数,可以在半自由边界处产生位移,从而弦的拉力与自由边界相同。
综上所述,不同约束边界对弦拉力的影响是显著的。对于分布均匀柔软的弦,弦的拉力与振动模式的波数、约束边界的类型都有关系。在实际应用中,我们需要根据具体情况选择合适的约束边界以及相应的振动模式,以满足设计要求。
下面是四种不同边界条件对线拉力的影响
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112
| L = 0.6; h = 0.01; rho = 0.01; Tensions = linspace(10, 50, 5); Nx = 100; Nt = 1000; Tmax = 0.1;
dx = L / (Nx - 1); dt = Tmax / (Nt - 1);
x = linspace(0, L, Nx); t = linspace(0, Tmax, Nt);
for T = Tensions c = sqrt(T / rho); r = (c * dt / dx)^2; u = zeros(Nx, Nt); u(:, 1) = h * (1 - (4 * (x - L/2).^2) / L^2); u(:, 2) = u(:, 1); u(1, :) = 0; u(end, :) = 0; for n = 2:Nt-1 for i = 2:Nx-1 u(i, n+1) = 2 * (1 - r) * u(i, n) - u(i, n-1) + r * (u(i+1, n) + u(i-1, n)); end end U = abs(fft(u, [], 2)); freq = (0:Nt-1) * (1 / dt / Nt); freq1 = freq(2:end); U1 = U(:, 2:end); [pks, locs] = findpeaks(U1(:, 1)); freq1 = freq1(locs); figure; plot(T, freq1(1), 'ro'); hold on; plot(T, freq1(2), 'bo'); plot(T, freq1(3), 'go'); plot(T, freq1(4), 'yo'); plot(T, freq1(5), 'mo'); title('Free Boundary'); xlabel('Tension (N)'); ylabel('Frequency (Hz)'); u = zeros(Nx, Nt); u(:, 1) = h * (1 - (4 * (x - L/2).^2) / L^2); u(:, 2) = u(:, 1); u(1, :) = 0; u(end, :) = 0; for n = 2:Nt-1 u(2, n) = r * (u(3, n) - u(2, n-1)) + 2 * (1 - r) * u(2, n) - u(2, n-2); u(end-1, n) = r * (u(end-2, n) - u(end-1, n-1)) + 2 * (1 - r) * u(end-1, n) - u(end-1, n-2); for i = 3:Nx-2 u(i, n+1) = 2 * (1 - r) * u(i, n) - u(i, n-1) + r * (u(i+1, n) + u(i-1, n)); end end U = abs(fft(u, [], 2)); freq = (0:Nt-1) * (1 / dt / Nt); freq2 = freq(2:end); U2 = U(:, 2:end); [pks, locs] = findpeaks(U2(:, 1)); freq2 = freq2(locs); end figure; plot(T, freq1(1), 'ro'); hold on; plot(T, freq1(2), 'bo'); plot(T, freq1(3), 'go'); plot(T, freq1(4), 'yo'); plot(T, freq1(5), 'mo'); title('Free Boundary'); xlabel('Tension (N)'); ylabel('Frequency (Hz)'); u(1, :) = 0; u(end, :) = 0; for n = 2:Nt-1 u(2, n) = r * (u(3, n) - u(2, n-1)) + 2 * (1 - r) * u(2, n) - u(2, n-1); u(end-1, n) = r * (u(end-2, n) - u(end-1, n-1)) + 2 * (1 - r) * u(end-1, n) - u(end-1, n-1); for i = 3:Nx-2 u(i, n+1) = 2 * (1 - r) * u(i, n) - u(i, n-1) + r * (u(i+1, n) + u(i-1, n)); end end U = abs(fft(u, [], 2)); freq = (0:size(U, 2)-1) * (1 / t(end)); freq3 = freq(2:end); U3 = U(:, 2:end); [pks, locs] = findpeaks(U3(:, 1)); freq3 = freq3(locs); figure; plot(T, freq1(1), 'ro'); hold on; plot(T, freq1(2), 'bo'); plot(T, freq1(3), 'go'); plot(T, freq1(4), 'yo'); plot(T, freq1(5), 'mo'); title('Free Boundary'); xlabel('Tension (N)'); ylabel('Frequency (Hz)');
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三、附录
3.1 抛物线的求解
已知抛物线的定点和焦点,可以使用抛物线的标准方程或顶点法求出抛物线的方程。
- 标准方程
抛物线的标准方程为:
y=ax2+bx+c
其中,a是抛物线的开口方向和大小,b是抛物线的对称轴位置,c是抛物线的顶点的纵坐标。
根据题意,已知定点和焦点,可以求出抛物线的开口方向和大小,以及顶点的横坐标。进而可以求出b和c。
以定点为抛物线的顶点,设焦点在y轴正半轴上,设焦距为2p,定点的坐标为(h,k)。
根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到定点的距离,即:
(x−h)2+(y−k)2=∣y+k−2p∣
平方化化简可得:
(x−h)2=4py
其中p为焦距。根据定义,抛物线的开口方向和大小由参数a决定,a=1/4p。
因此抛物线的方程为:
y=4p1(x−h)2+k
其中,h,k,p为已知的定点和焦点的参数。
- 顶点法
以定点为抛物线的顶点,将焦点所在的直线定义为抛物线的对称轴。设焦距为2p,焦点的坐标为(h,k+p),则可得到焦点所在的直线方程为x=h。
根据抛物线的定义,顶点到对称轴的距离等于焦距的一半,因此抛物线的方程为:
(y−k)=4p1(x−h)2
其中,h,k,p为已知的定点和焦点的参数。
3.2 奈奎斯特采样定理
采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。
在进行模拟/数字信号的转换过程中,当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax),采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息,一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56~4倍;采样定理又称奈奎斯特定理。
如果对信号的其它约束是已知的,则当不满足采样率标准时,完美重建仍然是可能的。 在某些情况下(当不满足采样率标准时),利用附加的约束允许近似重建。 这些重建的保真度可以使用Bochner定理来验证和量化。具体见百度百科奈奎斯特抽样定理